Ta có \(\overrightarrow{n}_{\beta}=\left(1;3k;-1\right);\overrightarrow{n}_{\gamma}=\left(k;-1;1\right)\)

Gọi \(d_k=\beta\cap\gamma\)

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}M \in \left( R \right)\\MH \bot \left( P \right)\\\left( R \right) \bot \left( P \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MH \subset \left( R \right)\\\left. \begin{array}{l}M \in \left( R \right)\\MK \bot \left( Q \right)\\\left( R \right) \bot \left( Q \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MK \subset \left( R \right)\end{array}\)

b) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}MH \bot \left( P \right) \Rightarrow MH \bot a\\MK \bot \left( Q \right) \Rightarrow MK \bot a\\MH,MK \subset \left( R \right)\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot \left( R \right)\)

a) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}a \bot \left( Q \right)\\a \subset \left( P \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( P \right) \bot \left( Q \right)\)

b) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}a \bot \left( Q \right)\\b \subset \left( Q \right)\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot b\\b \bot c\\a,c \subset \left( P \right)\end{array} \right\} \Rightarrow b \bot \left( P \right)\)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-1;-2;1\right)\); \(\overrightarrow{n_{\alpha}}=\left(2;-1;2\right)\)\(\Rightarrow\overrightarrow{n_p}=\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{n_{\alpha}}\right]=\left(-3;4;5\right)\)

Phương trình mặt phẳng (P) : \(-3x+4y+5z=0\)

\(R=d\left(A;\left(\alpha\right)\right)=\frac{\left|6-1+2+1\right|}{\sqrt{9}}=\frac{8}{3}\)

Phương trình mặt cầu (S) : \(\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=\frac{64}{9}\)

\(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{n_{\alpha}}\right]=\left(1;-2;1\right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left(\beta\right)\)

Mặt phẳng \(\beta\) đi qua A có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left(1;-2;1\right)\) có phương trình \(x-2y+z-2=0\)

Cho x, y là các số thỏa mãn \(x^2+y^2+xy=3\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-3=xy\)

Vì \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-3\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)

                       \(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\le4\)

a) Gọi \(\overrightarrow{u}\left(1;-2;-1\right)\) là vectơ chỉ phương của d, giả sử \(\overrightarrow{v}\left(a;b;c\right)\) là

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}MH \bot \left( P \right) \Rightarrow MH \bot OH\\MK \bot \left( Q \right) \Rightarrow MK \bot OK\\\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = {90^ \circ } \Rightarrow \left( {MH,MK} \right) = {90^ \circ } \Rightarrow MH \bot MK\end{array}\)

Tứ giác \(MHOK\) có \(\widehat {MHO} = \widehat {MK{\rm{O}}} = \widehat {HMK} = {90^ \circ }\).

Vậy tứ giác \(MHOK\) là hình chữ nhật.

Trong \(\left( P \right)\) có đường thẳng \(OH\) vuông góc với \(\left( Q \right)\).

b) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}a \bot \left( Q \right) \Rightarrow a \bot OK\\MH \bot \left( P \right) \Rightarrow MH \bot a\end{array} \right\} \Rightarrow MH\parallel OK\)

Lại có \(MH \bot \left( P \right)\). Vậy \(OK \bot \left( P \right) \Rightarrow OK \bot OH\)

Tứ giác \(MHOK\) có \(\widehat {MHO} = \widehat {MK{\rm{O}}} = \widehat {HOK} = {90^ \circ }\).

Vậy tứ giác \(MHOK\) là hình chữ nhật.

\(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left( {MH,MK} \right) = \widehat {HMK} = {90^ \circ }\).